Question

18．为捍卫钓鱼岛及其附属岛屿的领土主权，中国派出舰船“唐山号”、“石家庄号”和“邯郸号”在钓鱼岛领海巡航．某日，正巡逻在A处的“唐山号”突然发现来自P处的疑似敌舰的某信号，发现信号时“石家庄号”和“邯郸号”正分别位于如图所示的B、C两处，其中A在B的正东方向相距6海里处，C在B的北偏西30°方向相距4海里处．由于B、C比A距P更远，因此，4秒后B、C才同时发现这一信号（该信号的传播速度为每秒1海里），试确定疑似敌舰相对于A点“唐山号”的位置．

Answer 1

分析 由题意取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点，建立直角坐标系，所以点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，求出点P的位置即可．

解答 解：取A、B所在直线为x轴，线段AB的中点O为原点，
建立直角坐标系．则A、B、C的坐标为：
A（ 3，0 ）、B （-3，0 ）、C （-5，2$\sqrt{3}$），（长度单位为海里）．
由已知|PB|-|PA|=4，所以点P在以A、B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支上，
其方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1，（x≥2）①
又B、C同时测得同一信号，即有|PB|=|PC|
所以点P又在线段BC的中垂线上x-$\sqrt{3}$y+7=0，
由方程组$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}y+7=0}\\{5{x}^{2}-4{y}^{2}=20}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=5\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
即P（8，5$\sqrt{3}$），
由于k_AP=$\sqrt{3}$，
可知P在A的北偏东30°方向，相距10海里处

点评 本题考查了抛物线在实际生活中的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题