Question

9．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分析，决定从全班25名男同学，15名女同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析．
（1）如果按性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（只要求写出计算式即可，不
必计算出结果）
（2）随机抽取8位，他们的数学分数从小到大排序是：60，65，70，75，80，85，90，95，物理分数从
小到大排序是：72，77，80，84，88，90，93，95．
①若规定85分以上（包括85分）为优秀，求这8位同学中恰有3位同学的数学和物理分数均
为优秀的概率；
②若这8位同学的数学、物理分数事实上对应如表：

学生编号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学分数x	60	65	70	75	80	85	90	95
物理分数y	72	77	80	84	88	90	93	95

根据上表数据，由变量y与x的相关系数可知物理成绩y与数学成绩x之间具有较强的线性相关关系，现求y与x的线性回归方程（系数精确到0.01）．
参考公式：回归直线的方程是：$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，其中对应的回归估计值b=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，
参考数据：$\overline x=77.5$，$\overline y=84.875$，$\sum_{i=1}^8{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}$≈1050，$\sum_{i=1}^8{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}$≈688，．

Answer 1

分析 （1）从25名男同学中选$\frac{25}{40}×8$位，从15名女同学中选$\frac{15}{40}×8$位，即可得出样本的种数．
（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是${A}_{4}^{3}$，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是${A}_{5}^{5}$，根据乘法原理可得满足条件的种数，这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有${A}_{8}^{8}$种，即可得出所求的概率．
②设y与x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根据所给数据，可以计算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，可得y与x的线性回归方程．

解答 解：（1）从25名男同学中选$\frac{25}{40}×8$=5位，从15名女同学中选$\frac{15}{40}×8$=3位．
可以得到${∁}_{25}^{5}$×${∁}_{15}^{3}$个不同的样本．
（2）①从8为同学中恰有3为同学的数学与物理均为优秀，从物理的4个优秀分数中选3个与数学优秀分数对应，种数是${A}_{4}^{3}$，然后将剩下的5个数学分数和物理分数任意对应，种数是${A}_{5}^{5}$，根据乘法原理可得：满足条件的种数是${A}_{4}^{3}{A}_{5}^{5}$，这8位同学的物理分数和数学分数分布对应的种数共有${A}_{8}^{8}$种，故所求的概率P=$\frac{{A}_{4}^{3}•{A}_{5}^{5}}{{A}_{8}^{8}}$=$\frac{1}{14}$．
②设y与x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=bx+a，根据所给数据，可以计算出$b≈\frac{688}{1050}≈0.66$，a=84.875-0.66×77.5≈33.73，所以y与x的线性回归方程是$\stackrel{∧}{y}$=0.66x+33.73．

点评 本题考查了分层抽样、组合计算公式、乘法原理、古典概率计算公式、线性回归方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．