Question

14．如图，已知F₁、F₂是椭圆G：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦点，直线l：y=k（x+1）经过左焦点F₁，且与椭圆G交于A、B两点，△ABF₂的周长为$4\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆G的标准方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得△ABF₂为等腰直角三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可知：c=1，4a=4$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=3-1=2．即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分类讨论，假设|AF₂|=|BF₂|，利用作差法，即可求得x₁+x₂=6．（与x₁≤$\sqrt{3}$，x₂≤$\sqrt{3}$，x₁+x₂≤2$\sqrt{3}$＜6，矛盾），将直线方程代入椭圆方程由韦达定理：${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+2}}$=6，矛盾．故|AF₂|≠|BF₂|．再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．由勾股定理得：${m^2}+{（2\sqrt{3}-m）^2}=4$，此方程无解．故不存在这样的等腰直角三角形．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆G的半焦距为c，因为直线l与x轴的交点为（-1，0），故c=1．
又△ABF₂的周长为$4\sqrt{3}$，即$|{AB}|+|{A{F_2}}|+|{B{F_2}}|=4a=4\sqrt{3}$，故a=$\sqrt{3}$．
所以，b²=a²-c²=3-1=2．
因此，椭圆G的标准方程为$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1$；
注：本小题也可以用焦点和离心率作为条件，即将周长换离心率．
（Ⅱ）不存在．理由如下：先用反证法证明AB不可能为底边，即|AF₂|≠|BF₂|．
由题意知F₂（1，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），假设|AF₂|=|BF₂|，
则$\sqrt{{{（{x_1}-1）}^2}+y_1^2}=\sqrt{{{（{x_2}-1）}^2}+y_2^2}$，
又$\frac{x_1^2}{3}+\frac{y_1^2}{2}=1$，$\frac{x_2^2}{3}+\frac{y_2^2}{2}=1$，代入上式，消去$y_1^2，y_2^2$，得：（x₁-x₂）（x₁+x₂-6）=0．
因为直线l斜率存在，所以直线l不垂直于x轴，所以x₁≠x₂，故x₁+x₂=6（与x₁≤$\sqrt{3}$，x₂≤$\sqrt{3}$，x₁+x₂≤2$\sqrt{3}$＜6，矛盾）．
联立方程$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=k（x+1）\end{array}\right.$，得：（3k²+2）x²+6k²x+3k²-6=0，
所以${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+2}}$=6，矛盾．
故|AF₂|≠|BF₂|．
再证明AB不可能为等腰直角三角形的直角腰．
假设△ABF₂为等腰直角三角形，不妨设A为直角顶点．
设|AF₁|=m，则$|{A{F_2}}|=2\sqrt{3}-m$，
在△AF₁F₂中，由勾股定理得：${m^2}+{（2\sqrt{3}-m）^2}=4$，此方程无解．
故不存在这样的等腰直角三角形．
注：本题也可改为是否存在直角三角形？会简单一些．改为是否存在等腰三角形则不易计算，也可修改椭圆方程使存在等腰直角三角形．

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，两点之间的距离公式，考查计算能力，分类讨论思想，属于中档题．