Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{3}，x≤m}\\{{x}^{2}，x＞m}\end{array}\right.$，函数g（x）=f（x）-k．
（1）当m=2时，若函数g（x）有两个零点，则k的取值范围是（4，8]；
（2）若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m的取值范围是（-∞，0）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 （1）分别画出y=f（x）与y=k的图象，如图所示，若函数g（x）有两个零点，由图象可得4＜k≤8，
（2）分类讨论，当m≥0时，只要m³＞m²即可，当m＜0都存在

解答 解：（1）当m=2时，分别画出y=f（x）与y=k的图象，如图所示，
若函数g（x）有两个零点，由图象可得4＜k≤8，
故k的取值范围是（4，8]
（2）当m≥0时，y=x³在（-∞，m]为增函数，最大值为m³，
y=x²在（m，+∞）为增函数，最小值为m²，
若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，则m³＞m²，解得m＞1，
当m＜0时，y=x²在（m，0）上为减函数，在（0，+∞）为增函数，
故若存在实数k使得函数g（x）有两个零点，
综上所述m的取值范围为（-∞，0）∪（1，+∞），
故答案为：（1）：（4，8]，（2）：（-∞，0）∪（1，+∞）

点评 本题考查了分度函数以及函数零点的问题，常采用数形结合法，属于中档题