Question

11．已知向量$\vec a=（1，cos2x），\vec b=（sin2x，-\sqrt{3}）$，函数f（x）=$\overrightarrow a•\overrightarrow b$．
（1）求函数f（x）的单调增区间；
（2）若$f（{\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}}）=\frac{6}{5}$，求cos2θ的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用正弦函数的单调区间求解即可．
（2）利用（1）化简函数的表达式，通过二倍角公式求解即可．

解答 解：（1）∵向量$\vec a=（1，cos2x），\vec b=（sin2x，-\sqrt{3}）$，
∴$f（x）=\vec a•\vec b=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin（2x-\frac{π}{3}）$．-----（3分）
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$得：$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
∴函数f（x）的单调增区间为$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]$（k∈Z）．-----（6分）
（2）∵$f（\frac{θ}{2}+\frac{2π}{3}）=2sin（θ+\frac{4π}{3}-\frac{π}{3}）=-2sinθ=\frac{6}{5}$，∴$sinθ=-\frac{3}{5}$．-----（10分）
∴$cos2θ=1-2{sin^2}θ=1-2×\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$．-----（12分）

点评 本题考查向量的数量积的运算，两角和与差的三角函数，考查计算能力．