Question

7．已知正数x，y满足x+2y=3，当xy取得最大值时，过点P（x，y）引圆：（x-$\frac{1}{2}$）²+（y+$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{2}$的切线，则此切线段的长度为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用基本不等式的性质可得P的坐标，再利用直线与圆相切的性质、勾股定理即可得出．

解答 解：正数x，y满足x+2y=3，∴3≥2$\sqrt{x•2y}$，可得：xy≤$\frac{9}{8}$，当且仅当x=2y=$\frac{3}{2}$时取等号．
当xy取得最大值时，点P$（\frac{3}{2}，\frac{3}{4}）$．
则切线段的长度为$\sqrt{（\frac{3}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{3}{4}+\frac{1}{4}）^{2}-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题考查了基本不等式的性质可得P的坐标，再利用直线与圆相切的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．