Question

1．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-2x-{x^2}，x≤0\\|{lgx}|，x＞0\end{array}\right.$，若a＜b＜c＜d，且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），则a+b+c+2d的取值范围是（　　）

• A． $（{3，\frac{201}{10}}）$
• B． $（{1，\frac{181}{10}}）$
• C． $（{2\sqrt{2}，+∞}）$
• D． $（{2\sqrt{2}-2，+∞}）$

Answer 1

分析 设f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=k，推出a，b为方程x²+2x+k=0的不同实根，得到a+b=-2，通过|lgc|=|lgd|推出1＜d＜10，然后求解a+b+c+2d∈（1，$\frac{181}{10}$）．

解答 解：不妨设f（a）=f（b）=f（c）=f（d）=k，
则：a，b，c，d为f（x）=k的四个不同的实数根，
于是a，b为方程x²+2x+k=0的不同实根，所以a+b=-2，
由|lgc|=|lgd|可知：且由于0＜lgd＜1，可知1＜d＜10，于是c+2d=2d+$\frac{1}{d}$∈（3，$\frac{201}{10}$），
于是：a+b+c+2d∈（1，$\frac{181}{10}$）．
故选：B．

点评 本题考查函数的零点与方程根的关系，考查转化思想以及计算能力．