Question

3．在平面直角坐标系xOy中，已知第一象限内的点P（a，b）在直线2x+y-1=0上，则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$取得最小值时，a的值为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 第一象限内的点P（a，b）在直线2x+y-1=0上，可得a，b＞0，2a+b=1．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：第一象限内的点P（a，b）在直线2x+y-1=0上，∴a，b＞0，2a+b=1．
则$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$=（a+a+b）$（\frac{4}{a+b}+\frac{1}{a}）$=5+$\frac{4a}{a+b}$+$\frac{a+b}{a}$≥5+2$\sqrt{\frac{4a}{a+b}×\frac{a+b}{a}}$=9，
当且仅当a=b=$\frac{1}{3}$时取等号，即$\frac{4}{a+b}$+$\frac{1}{a}$取得最小值．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了点与直线的关系、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．