Question

已知函数，，函数的图像在点处的切线平行于轴．
（1）求的值；
（2）求函数的极小值；
（3）设斜率为的直线与函数的图象交于两点，（）
证明：．

Answer 1

（1）（2）（3）证明如下

解析试题分析：解：（1）依题意得，则
由函数的图象在点处的切线平行于轴得：
∴ 
（2）由（1）得 
∵函数的定义域为，令得或
函数在上单调递增，在单调递减；在上单调递增．故函数的极小值为
（3）证法一：依题意得，
要证，即证
因，即证 
令（），即证（）
令（）则
∴在（1，+）上单调递减，
∴ 即，--------------①
令（）则
∴在（1，+）上单调递增，
∴=0，即（）--------------②
综①②得（），即．
【证法二：依题意得，
令则
由得，当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，又
即
考点：导数的运用
点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。