Question

已知数列{a_n}中，a₁=3，前n项和S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1．
（Ⅰ）设数列{b_n}满足b_n=

an

n

，求b_n+1与b_n之间的递推关系式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，得S_n+1=

1

2

（n+2）（a_n+1+1）-1．从而得na_n+1=（n+1）a_n-1，由此能求出bn+1=bn-

1

n(n+1)

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

an+1

n+1

=

an

n

-

1

n(n+1)

，由此利用累加法能求出a_n=2n+1．

解答： 解：（Ⅰ）∵S_n=

1

2

（n+1）（a_n+1）-1，∴S_n+1=

1

2

（n+2）（a_n+1+1）-1．
∴a_n+1=S_n+1-S_n=

1

2

[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)]，（4分）
整理得na_n+1=（n+1）a_n-1，
等式两边同时除以n（n+1），得

an+1

n+1

=

an

n

-

1

n(n+1)

，（7分）
即bn+1=bn-

1

n(n+1)

．（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn+1=bn-

1

n(n+1)

，即

an+1

n+1

=

an

n

-

1

n(n+1)

，
所以

an

n

=

an

n

-

an-1

n-1

+

an-1

n-1

-

an-2

n-1

+…+

a2

2

-

a1

1

+

a1

1

=

1

n

-

1

n-1

+

1

n-1

-

1

n-2

+

1

n-2

-

1

n-3

+…+

1

2

-1+3
=

1

n

+2，
得a_n=2n+1．（14分）

点评：本题考查b_n+1与b_n之间的递推关系式的求法，考查数列{a_n}的通项公式的求法，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．