Question

已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=

1

3

f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，数列{a_n}的前n项之和为S_n，则

lim

n→∞

S_n=（　　）

• A、3
• B、

  5

  2

• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：由函数的周期变化知，最大值也成周期变化．

解答： 解：当x∈[0，2）时，f（x）=-x²+2x=-（x-1）²+1，
则f_max（x）=1．又∵设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n，
∴a₁=1，
又∵f（x+2）=

1

3

f（x），
则f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为f（x）在[2n-4，2n-2）上的最大值的

1

3

；
∴a_n=

1

3

a_n-1，数列{a_n}是以1为首项，

1

3

为公比的等比数列；
∴

lim

n→∞

S_n=

lim

n→∞

（

1(1-( 1 3 )n)

1- 1 3

）=

3

2

；
故选C．

点评：考查了函数的周期性．