Question

过点M（m，0）（其中m＞a）的直线?与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P、Q两点，线段PQ的中点为N，设直线?的斜率为k₁，直线ON（O为坐标原点）的斜率为k₂（k₁•k₂≠0），若|k₁|+|k₂|的最小值为

3

，则椭圆的离心率为（　　）

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  1

  3

• D、

  2

  2

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），根据已知条件求出l的方程，联立椭圆的方程消去y，得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理求出x₁+x₂，根据直线l的方程求出y₁+y₂，这样即可求得中点N的坐标，根据坐标求出直线ON的斜率k₂，并且求得|k1|+|k2|=|k1|+

b2

|k1|a2

≥

2b

a

=

3

，这样即可用b表示a，根据c=

a2-b2

即可用b表示c，这样即可求出离心率

c

a

．

解答： 解：由已知条件知，直线l的方程为：y=k₁（x-m），设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）；
由

y=k1(x-m) x2 a2 + y2 b2 =1

，得(b2+a2k12)x2-2ma2k12x+a2k12m2-a2b2=0；
∴

x1+x2

2

=

ma2k12

b2+a2k12

，∵y₁+y₂=k₁（x₁-m）+k₁（x₂-m）=k₁（x₁+x₂）-2k₁m
∴

y1+y2

2

=k1

x1+x2

2

-k1m=k1

ma2k12

b2+a2k12

-k1m=

-k1mb2

b2+a2k12

；
∴k2=

-k1mb2

ma2k12

=

-b2

k1a2

；
∴|k1|+|k2|=|k1|+

b2

|k1|a2

≥

2b

a

=

3

；
∴a=

2b

3

，c=

a2-b2

=

4 3 b2-b2

=

b

3

；
∴

c

a

=

1

2

，即该椭圆的离心率为

1

2

．
故选A．

点评：考查直线和椭圆的交点，韦达定理，中点坐标公式，根据坐标求斜率的公式，基本不等式．