Question

【题目】设Sn为数列{cn}的前n项和，an=2n ， bn=50﹣3n，cn= ．
（1）求c4与c8的等差中项；
（2）当n＞5时，设数列{Sn}的前n项和为Tn ．
（ⅰ）求Tn；
（ⅱ）当n＞5时，判断数列{Tn﹣34ln}的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a4＜b4=38，∴c4=38，

∵b8＜a8=256，∴c8=256，

∴c4与c8的等差中项为 = ．

（2）解：（ⅰ）当n≤5时，an＜bn，

则S1=47，S2=91，S3=132，S4=170，S5=205，

当n=5时，an=bn，

则Sn=b1+b2+b3+b4+b5+a6+a7+…+an

=205+ =2n+1+141．

∴当n＞5时，Tn=47+91+132+170+205+（27+141）+（28+141）+…+（2n+1+141）

=645+ +141（n﹣5）=2n+2+141n﹣188．

（ⅱ）设dn=Tn﹣341n=2n+2﹣200n﹣188，

dn+1﹣dn=2n+2﹣200，

当n＞5时，2n+2﹣200＞0，

∴dn+1＞dn，

∴当n＞5时，数列{Tn﹣34ln}的单调递增

【解析】1、根据等差中项的定义求得。
2、由题意分情况可得（ⅰ）当n≤5时，可证明当n=5时，an=bn，则Sn=b1+b2+b3+b4+b5+a6+a7+…+an=2n+1+141．当n＞5时，Tn==2n+2+141n﹣188。（ⅱ）设dn=Tn﹣341n=2n+2﹣200n﹣188，当n＞5时，2n+2﹣200＞0，∴dn+1＞dn，即可得证当n＞5时，数列{Tn﹣34ln}的单调递增。

【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．