Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足：S_n²+1=（a_n-2）S_n，n∈N^*
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n，并用数学归纳法证明；
（2）设${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$，求证：对任意正整数n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

Answer 1

分析 （1）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，令n=1，可得S₁=-$\frac{1}{2}$，同理可得：S₂=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，猜想S_n=-$\frac{n}{n+1}$．利用数学归纳法证明即可．
（2）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，S_n=-$\frac{n}{n+1}$，解得a_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$．可得${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：∵S_n²+1=（a_n-2）S_n，
令n=1，可得S₁=-$\frac{1}{2}$，同理可得：S₂=-$\frac{2}{3}$，S₃=-$\frac{3}{4}$，猜想S_n=-$\frac{n}{n+1}$．
利用数学归纳法证明：
①当n=1时，S₁=-$\frac{1}{2}$成立，
②假设n=k∈N^*时，S_k=-$\frac{k}{k+1}$．
则当n=k+1时，由${S}_{k}^{2}+1=（{S}_{k}-{S}_{k-1}-2）{S}_{k}$，
化为${S}_{k}=\frac{-1}{2+{S}_{k-1}}$，∴${S}_{k+1}=\frac{-1}{2+{S}_{k}}$=$\frac{-1}{2-\frac{k}{k+1}}$=-$\frac{k+1}{k+1+1}$成立．
∴当n=k+1时命题成立．
综上可知：S_n=-$\frac{n}{n+1}$对?n∈N^*都成立．
（2）由S_n²+1=（a_n-2）S_n，S_n=-$\frac{n}{n+1}$，解得a_n=-$\frac{1}{n（n+1）}$．
∴${b_n}=（{2n+1}）{a_n}^2$=$\frac{1}{{n}^{2}}$-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$．
∴对任意正整数n，有b₁+b₂+…+b_n=$（1-\frac{1}{{2}^{2}}）+（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{3}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$=1-$\frac{1}{（n+1）^{2}}$＜1．
∴对任意正整数n，有b₁+b₂+…+b_n＜1．

点评 本题考查了猜想归纳能力、数学归纳法、递推式的应用、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．