Question

18．设直线l，m分别是函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}-lnx，0＜x＜1\\ lnx，x＞1\end{array}$图象上在点M、N处的切线，已知l与m互相垂直，且分别与y轴相交于点A，B，点P是函数y=f（x），（x＞1）图象上任意一点，则△PAB的面积的取值范围是（　　）

• A． （0，1）
• B． （0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （1，+∞）

Answer 1

分析 由题意可知：当0＜x＜1时，f′（x）=-$\frac{1}{x}$，当x＞1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$，分别求得直线l₁和l₂的斜率，由l₁与l₂垂直，即k₁•k₂=-1，求得x₁x₂=1，求得直线l₁和直线l₁的方程，由|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2，根据三角形的面积公式，△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•x，由题意可知x＞1，即可求得△PAB的面积的取值范围．

解答 解：解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）（0＜x₁＜1＜x₂），P（x，lnx），（x＞1），
当0＜x＜1时，f′（x）=-$\frac{1}{x}$，当x＞1时，f′（x）=$\frac{1}{x}$，
∴l₁的斜率k₁=-$\frac{1}{{x}_{1}}$，l₂的斜率k₂=$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∵l₁与l₂垂直，且x₂＞x₁＞0，
∴k₁•k₂=-1，即x₁x₂=1．
直线l₁：y=-$\frac{1}{{x}_{1}}$（x-x₁）-lnx₁，l₂：y=$\frac{1}{{x}_{2}}$（x-x₂）+lnx₂，
取x=0分别得到A（0，1-lnx₁），B（0，-1+lnx₂），
|AB|=|1-lnx₁-（-1+lnx₂）|=|2-（lnx₁+lnx₂）|=|2-lnx₁x₂|=2，
点P是函数y=f（x），（x＞1）图象上任意一点，
∴P到直线AB的距离为x（x＞1），
∴△PAB的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•x=x＞1，
△PAB的面积的取值范围是：（0，+∞），
故答案选：D．

点评 本题考查利用导数求曲线上点的切线方程，直线垂直的条件，三角形的面积公式及两点之间的距离公式，考查计算能力，属于中档题．