Question

14．已知函数$f（x）=2cos（x+\frac{π}{3}）[sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{3}）]$．
（1）求f（x）的值域和最小正周期；
（2）方程f（x）=m在$x∈[0，\frac{π}{6}]$内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；
（2）$x∈[0，\frac{π}{6}]$内有时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，可得f（x）的值域．即得实数m的取值范围．

解答 解：函数$f（x）=2cos（x+\frac{π}{3}）[sin（x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}cos（x+\frac{π}{3}）]$．
化简可得：f（x）=2cos（x+$\frac{π}{3}$）•sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$×2cos²（x+$\frac{π}{3}$）=sin（2x+$\frac{2π}{3}$）$-\sqrt{3}$cos（2x+$\frac{2π}{3}$）$-\sqrt{3}$
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
（1）∵-1≤sin（2x$+\frac{π}{3}$）≤1．
∴-2-$\sqrt{3}$≤2sin（2x$+\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$≤2-$\sqrt{3}$，
最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
即f（x）的值域为[-2-$\sqrt{3}$，2$-\sqrt{3}$]，最小正周期为π．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{6}$]时，
∴2x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}，\frac{2π}{3}$]，
故sin（2x+$\frac{π}{3}$）∈[$\frac{\sqrt{3}}{2}，1$]，
即实数m的取值范围是[$0，2-\sqrt{3}$]．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．