【题目】已知函数.
(1)讨论的奇偶性;
(2)当时,求
在
的值域;
(3)若对任意,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
为奇函数,当
时,
为非奇非偶函数;(2)
;(3)
或
.
【解析】
(1)当a=0时,利用定义判断f(x)为奇函数;当a≠0时,利用特值判断f(x)为非奇非偶函数;
(2)将a=4代入,分类讨论f(x)的取值范围,最后综合讨论结果,可得答案;
(3)去绝对值,分离参数,转化为基本不等式求最值即可
(1)当a=0时,f(x)为奇函数;当a≠0时,f(x)为非奇非偶函数,理由如下:
当a=0时,函数f(﹣x)=﹣x |x|=﹣f(x),此时,f(x)为奇函数.
当a≠0时,f(a)=﹣a,f(﹣a)=﹣2a|a|﹣a,f(a)≠f(﹣a),f(a)≠﹣f(﹣a),
此时f(x)既不是奇函数,也不是偶函数.
(2)当a=4时,函数
当1≤x≤4时,f(x)=4x﹣x2﹣4∈[﹣4,0],
当5≥x>4时,f(x)=x2-4x-4∈[﹣4,1],
综上,当a=4时,求f(x)的值域为[﹣4,1],
(3)对任意的x∈[3,5],f(x)≥0恒成立转化为|x-a|≥在x∈[3,5]上恒成立.
当a≤0时,显然不等式恒成立.
当a>0时,|x-a|≥可化为x-a≥
或x-a≤-
,
由x-a≥得a≤
=x+1+
-2,
令g(x)=x+1+-2,则g(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以g(x)≥4+
-2=
,故a≤
;
由x-a≤-得a≥
=x-1+
+2,
令h(x)=x-1++2,则h(x)在x∈[3,5]上单调递增,所以h(x)≤4+
+2=
,故a≥
.
综上,实数a的取值范围为或
.
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【题目】提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数,当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时,研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式;
(2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=xv(x)可以达到最大,并求出最大值.(精确到1辆/小时).
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【题目】如图,已知双曲线的左右焦点分别为
,
,
是双曲线右支上的一点,
与
轴交于点
的内切圆在边
上的切点为
,若
,则双曲线的离心率是 ( )
A. 2 B. C.
D. 3
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【题目】已知双曲线x2-=1.
(1)若一椭圆与该双曲线共焦点,且有一交点P(2,3),求椭圆方程.
(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A、B,右焦点为F,直线l为椭圆的右准线,N为l上的一动点,且在x轴上方,直线AN与椭圆交于点M.若AM=MN,求∠AMB的余弦值;
(3)设过A、F、N三点的圆与y轴交于P、Q两点,当线段PQ的中点为(0,9)时,求这个圆的方程.
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【题目】已知、
是椭圆
(
)的左、右焦点,过
作
轴的垂线与
交于
、
两点, 与
轴交于点
,
,且
,
为坐标原点.
(1)求的方程;
(2)设为椭圆
上任一异于顶点的点,
、
为
的上、下顶点,直线
、
分别交
轴于点
、
.若直线
与过点
、
的圆切于点
.试问:
是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由。
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【题目】已知,
分别是双曲线
的左顶点、右焦点,过
的直线
与
的一条渐近线垂直且与另一条渐近线和
轴分别交于
,
两点.若
,则
的离心率是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某公司生产一种化工产品,该产品若以每吨10万元的价格销售,每年可售出1000吨,若将该产品每吨分价格上涨,则每年的销售数量将减少
,其中m为正常数,销售的总金额为y万元.
(1)当时,该产品每吨的价格上涨百分之几,可使销售总金额最大?
(2)当时,若能使销售总金额比涨价前增加,试设定m的取值范围.
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【题目】某家具公司制作木质的椅子和书桌两种家具,需要木工和漆工两道工序,已知木工平均6个小时做一把椅子,10个小时做一张书桌,该公司每月木工最多有6000个工作时;漆工平均4个小时漆一把椅子,2个小时漆一张书桌,该公司每月漆工最多有2600个工作时又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别是15元和20元,根据以上条件,怎样安排每月的生产,才能获得最大的利润?
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