Question

19．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m．一次高潮发生在10月10日4：00．每天涨潮落潮时，水的深度d（m）与时间t（h）近似满足关系式d=Asin（ωt+φ）+h．
（1）若从10月10日0：00开始计算，求该港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）10月10日17：00该港口水深约为多少？（精确到0.1m）
（3）10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m？

Answer 1

分析 （1）设d=Asin（ωt+φ）+h，利用低潮时入口处水的深度为8.4m，高潮时为16m，求出h，A，利用两次高潮发生的时间间隔12h，求出ω，再求出φ，即可描述这个港口的水深d（m）和时间t（h）之间的函数关系；
（2）10月10日17：00，t=17，即可求出水的深度；
（3）d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2≤10.3，即可求出10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m．

解答 解：（1）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{A+h=16}\\{-A+h=8.4}\end{array}\right.$，∴h=12.2，A=3.8，
∵T=12，
∴ω=$\frac{π}{6}$，
t=4时，4ω+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=-$\frac{π}{6}$，
∴d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2；
（2）t=17时，d=3.8sin（$\frac{π}{6}$×17-$\frac{π}{6}$）+12.2≈15.5；
（3）d=3.8sin（$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$）+12.2＜10.3，
∴$\frac{7}{6}$π＜$\frac{π}{6}$t-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11}{6}$π，
∴8＜t＜12，
∴10月10日这一天该港口共有10h水深低于10.3m．

点评 本题考查在实际问题中建立三角函数模型，考查学生利用数学知识解决实际问题，属于中档题．