Question

12．如图，△ABC内接于直径为BC的圆O，过点A作圆O的切线交CB的延长线于点P，∠BAC的平分线分别交BC和圆O于点D、E，若sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，PA=10．
（Ⅰ）求PB的长；
（Ⅱ）求AD•DE的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过证明△ABP∽△CAP，然后证明AC=2AB；
（Ⅱ）利用切割线定理以及相交弦定理直接求AD•DE的值．

解答 解：（Ⅰ）∵PA是圆O的切线，∴∠PAB=∠ACB，
又∠P是公共角
∴△ABP∽△CAP
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{AP}{PB}$，
∵△ABC内接于直径为BC的圆O，sin∠ABC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{AC}{AB}$=2，
∵PA=10，
∴PB=5；
（Ⅱ）由切割线定理得：PA²=PB•PC∴PC=20
又PB=5，∴BC=15
又∵AD是∠BAC的平分线，∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CD}{DB}$=2
∴CD=2DB，∴CD=10，DB=5
又由相交弦定理得：AD•DE=CD•DB=50．

点评 本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．