Question

2．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x）-2，当x∈（0，2]时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-x\;\;，\;\;x∈（{0，1}）\\ \frac{1}{x}\;，\;\;\;\;x∈[{1，2}]\end{array}$，若x∈（0，4]时，t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）≤3-t恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A． [2，+∞）
• B． $（1，\frac{5}{2}）$
• C． $（2，\frac{5}{2}）$
• D． [1，2]

Answer 1

分析 由f（x+2）=2f（x）-2，求出x∈（2，3），以及x∈[3，4]的函数的解析式，分别求出（0，4]内的四段的最小值和最大值，注意运用二次函数的最值和函数的单调性，再由t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）≤3-t恒成立即为由t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）_min，f（x）_max≤3-t，解不等式即可得到所求范围

解答 解：当x∈（2，3），则x-2∈（0，1），
则f（x）=2f（x-2）-2=2（x-2）²-2（x-2）-2，即为
f（x）=2x²-10x+10，
当x∈[3，4]，则x-2∈[1，2]，
则f（x）=2f（x-2）-2=$\frac{2}{x-2}$-2．
当x∈（0，1）时，当x=$\frac{1}{2}$时，f（x）取得最小值，且为-$\frac{1}{4}$；
当x∈[1，2]时，当x=2时，f（x）取得最小值，且为$\frac{1}{2}$；
当x∈（2，3）时，当x=$\frac{5}{2}$时，f（x）取得最小值，且为-$\frac{5}{2}$；
当x∈[3，4]时，当x=4时，f（x）取得最小值，且为-1．
综上可得，f（x）在（0，4]的最小值为-$\frac{5}{2}$．
若x∈（0，4]时，t²-$\frac{7t}{2}$≤f（x）恒成立，
则有t²-$\frac{7t}{2}$≤-$\frac{5}{2}$．
解得1≤t≤$\frac{5}{2}$．
当x∈（0，2）时，f（x）的最大值为1，当x∈（2，3）时，f（x）∈[-$\frac{5}{2}$，-2），
当x∈[3，4]时，f（x）∈[-1，0]，
即有在（0，4]上f（x）的最大值为1．
由f（x）_max≤3-t，即为3-t≥1，解得t≤2，
即有实数t的取值范围是[1，2]．
故选D．

点评 本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的最小值，运用不等式的恒成立思想转化为求函数的最值是解题的关键．