Question

6．为了调查高一新生中女生的体重情况，校卫生室随机选取20名女生作为样本测量她们的体重（单位：kg），获得的所有数据按照区间（40，45]，（45，50]，（50，55]，（55，60]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．已知样本中体重在区间（45，50]上的女生数与体重在区间（55，60]上的女生数之比为4：3．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）从样本中体重在区间（50，60]上的女生中随机抽取两人，求体重在区间（55，60]上的女生至少有一人被抽中的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据频率的求法及所有小组的频率和为1，构造关于a，b的方程组，解之即得a，b的值；
（Ⅱ）根据概率的求法，计算可得答案，分别求出包含基本事件及从（50，60]中任意抽取2个个体基本事件总数，最后求出它们的比值即可．

解答 解：（Ⅰ）样本中体重在区间（45，50]上的女生有a×5×20=100a（人），…（1分）
样本中体重在区间（50，60]上的女生有（b+0.02）×5×20=100（b+0.02）（人），…（2分）
依题意，有100a=$\frac{4}{3}$×100（b+0.02），即a=$\frac{4}{3}$×（b+0.02）．①…（3分）
根据频率分布直方图可知（0.02+b+0.06+a）×5=1，②…（4分）
解①②得：a=0.08，b=0.04…（6分）
（Ⅱ）样本中体重在区间（50，55]上的女生有0.04×5×20=4人，分别记为
A₁，A₂，A₃，A₄，…（7分）
体重在区间（55，60]上的女生有0.02×5×20=2人，分别记为B₁，B₂…（8分）
从这6名女生中随机抽取两人共有15种情况：
（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，A₄），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，A₃），（A₂，A₄），（A₂，B₁），
（A₂，B₂），（A₃，A₄），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），（B₁，B₂）…（10分）
其中体重在（55，60]上的女生至少有一人共有9种情况：
（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₄，B₁），（A₄，B₂），
（B₁，B₂）…（11分）
记“从样本中体重在区间（50，60]上的女生随机抽取两人，体重在区间（55，60]上的女生
至少有一人被抽中”为事件M，则P（M）=$\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$…（12分）

点评 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．