试题分析:(Ⅰ)设N(x,y),M(
),则由已知得,
,
, 2分
代入
得,
. 4分
所以曲线E的方程为
. 5分
(Ⅱ)方法一:
因为线段
的长等于椭圆短轴的长,要使三点
能构成三角形,
则弦
不能与
轴垂直,故可设直线
的方程为
,
由
,消去
,并整理,得
. 7分
设
,
,又
,
所以
,
, 9分
因为
,
所以
,即
,
所以
,即
,
因为
,所以
. 12分
又点
到直线
的距离
,
因为
,
所以
14分
所以
,即
的最大值为
. 15分
(Ⅱ)方法二:
因为线段
的长等于椭圆短轴的长,要使三点
能构成三角形,
则弦
不能与
垂直,故可设直线
的方程为
,
由
,消去
,并整理,得
.
设
,
,
,
,又
,
所以
,
. 9分
因为
,所以
.
因为
,
所以
,
所以
, 12分
又点
到直线
的距离
,所以
.
所以
.
设
,则
, 14分
所以
,即
的最大值为
. 15分
点评:直线与圆锥曲线的位置关系问题每年高考都会出现在压轴题的位置上,难度一般较大,关键是运算量大,所以在解决此类问题时,要注意设而不求、转化、数形结合等思想方法的综合应用.