Question

已知函数f（x）=x²+mx+n的图象过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数
y=g（x）与y=f（x）的图象关于原点对称．求f（x）与g（x）的解析式．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件得到：

1+m+n=3 - m 2 =-1

，解出m．n即得函数f（x）解析式．因为g（x）与f（x）图象关于原点对称，所以可设（x₀，y₀）为f（x）图象上任一点，它关于原点的对称点在g（x）图象上，并设该点为（x，y），则将点（x₀，y₀）带入f（x）解析式，即得关于x，y的式子，该式子便是g（x）解析式．

解答： 解：∵f（-1+x）=f（-1-x）；
∴函数f（x）的对称轴为x=-1，又f（x）图象过（1，3）；
∴

1+m+n=3 - m 2 =-1

，解得m=2，n=0；
∴f（x）=x²+2x；
设函数y=f（x）图象上任一点A（x₀，y₀），该点关于原点的对称点为B（x，y），则：
x₀=-x，y₀=-y且y0=x02+2x0；
∴-y=x²-2x，y=-x²+2x；
即g（x）=-x²+2x．

点评：考查二次函数的对称轴，关于原点对称的点的坐标关系，函数图象上的点和函数解析式的关系．