Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，，且，.

（1）求二面角的大小；

（2）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的长；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）先根据条件证得，.再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用解方程组得平面的一个法向量以及平面的一个法向量，利用向量数量积得两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定结果，（2）设，利用向量垂直对应向量数量积为零解得，即得结果.

详解： （1）因为梯形中，，，所以.

因为平面，所以，.

如图，以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，

设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，

因为，，

所以即取，得到，

同理可得，

所以，

因为二面角为锐角，

所以二面角为.

（2）假设存在点，设，

所以，

所以,解得,

所以存在点,且.