【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)若曲线C1方程中的参数是α,且C1与C2有且只有一个公共点,求C1的普通方程;
(2)已知点A(0,1),若曲线C1方程中的参数是t,0<α<π,且C1与C2相交于P,Q两个不同点,求的最大值.
【答案】(1)或;(2)
【解析】
(1)利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程,利用圆与圆相切,可以得到等式,求出,进而得到结果;
(2)把曲线参数方程代入曲线直角坐标方程,得到一个一元二次方程,设交点对应的参数分别是,利用一元二次方程根与系数的关系,求得的表达式,求出最大值.
(1)∵ρ=2cosθ,∴曲线C2的直角坐标方程为∴(x﹣1)2+y2=1,
∵α是曲线C1:的参数,∴C1的普通方程为x2+(y﹣1)2=t2,
∵C1与C2有且只有一个公共点,∴|t|1或|t|1,
∴C1的普通方程为x2+(y﹣1)2=()2或x2+(y﹣1)2=()2
(2)∵t是曲线C1:的参数,∴C1是过点A(0,1)的一条直线,
设与点P,Q相对应的参数分别是t1,t2,把,代入(x﹣1)2+y2=1得t2+2(sinα﹣cosα)t+1=0,∴
∴|t1|+|t2|=|t1+t2|=2|sin(α)|≤2,
当α时,△=4(sinα﹣cosα)2﹣4=4>0,
取最大值2.
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【题目】四棱锥A-BCDE中,底面BCDE为矩形,侧面ABC底面BCDE,BC=2,CD=,AB=AC
(1)证明.
(2)设侧面ABC为等边三角形,求二面角C-AD-E的余弦值。
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【题目】某地区为了了解本年度数学竞赛成绩情况,从中随机抽取了个学生的分数作为样本进行统计,按照,,,,的分组作出频率分布直方图如图所示,已知得分在的频数为20,且分数在70分及以上的频数为27.
(1)求样本容量以及,的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中恰有一人得分在内的概率.
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【题目】①在同一坐标系中,与的图象关于轴对称
②函数是奇函数
③函数的图象关于成中心对称
④函数的最大值为
以上四个判断正确有_____________.(写上序号)
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【题目】为迎接“五一”节的到来,某单位举行“庆五一,展风采”的活动.现有6人参加其中的一个节目,该节目由两个环节可供参加者选择,为增加趣味性,该单位用电脑制作了一个选择方案:按下电脑键盘“Enter”键则会出现模拟抛两枚质地均匀骰子的画面,若干秒后在屏幕上出现两个点数和,并在屏幕的下方计算出的值.现规定:每个人去按“Enter”键,当显示出来的小于时则参加环节,否则参加环节.
(1)求这6人中恰有2人参加该节目环节的概率;
(2)用分别表示这6个人中去参加该节目两个环节的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
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【题目】如图所示,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0)作直线AB分别交OA、OB于A、B两点,当AB的中点C恰好落在直线y=x上时,求直线AB的方程.
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【题目】某景区的各景点从2009年取消门票实行免费开放后,旅游的人数不断地增加,不仅带动了该市淡季的旅游,而且优化了旅游产业的结构,促进了该市旅游向“观光、休闲、会展”三轮驱动的理想结构快速转变.下表是从2009年至2018年,该景点的旅游人数(万人)与年份的数据:
第年 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
旅游人数(万人) | 300 | 283 | 321 | 345 | 372 | 435 | 486 | 527 | 622 | 800 |
该景点为了预测2021年的旅游人数,建立了与的两个回归模型:
模型①:由最小二乘法公式求得与的线性回归方程;
模型②:由散点图的样本点分布,可以认为样本点集中在曲线的附近.
(1)根据表中数据,求模型②的回归方程.(精确到个位,精确到0.01).
(2)根据下列表中的数据,比较两种模型的相关指数,并选择拟合精度更高、更可靠的模型,预测2021年该景区的旅游人数(单位:万人,精确到个位).
回归方程 | ① | ② |
30407 | 14607 |
参考公式、参考数据及说明:
①对于一组数据,其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为.②刻画回归效果的相关指数;③参考数据:,.
5.5 | 449 | 6.05 | 83 | 4195 | 9.00 |
表中.
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