Question

已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x(x∈R).
(1)求f(x)的最小正周期和最大值；
(2)若θ为锐角，且f(θ＋)＝，求tan2θ的值.

Answer 1

(1) f(x)的最小正周期为＝π，最大值为.(2) tan2θ＝＝2.

解析试题分析：利用二倍角公式以及两角和的正弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，
（Ⅰ）直接利用周期公式求出函数f （x）的最小正周期,最大值易求.
（Ⅱ）由f(θ＋)＝可得sin(2θ＋)＝,从而可得cos2θ＝，再注意研究0＜2θ＜π,进而可利用求出sin2θ,进而可求出tan2θ＝.
(1)f(x)＝2sinxcosx＋cos2x
＝sin2x＋cos2x
＝(sin2x＋cos2x)
＝sin(2x＋).
∴f(x)的最小正周期为＝π，最大值为.…………（6分）
(2)∵f(θ＋)＝，  ∴sin(2θ＋)＝.  ∴cos2θ＝.
∵θ为锐角，即0＜θ＜，∴0＜2θ＜π.
∴sin2θ＝.
∴tan2θ＝＝2.…………（13分）.
考点：倍角公式及两角和的正弦公式，正切公式，函数的性质,同角三角函数的基本关系式.
点评：本题主要是利用三角函数的二倍角公式，两角和的正弦公式，求解函数的最小正周期和最值，还考查了利用同角三角函数式求出其余名函数值，进而得到tan2θ的值.