Question

13．设α是锐角，3个实数1，sinα+cosα，sinαcosα中最大的是sinα+cosα．

Answer 1

分析 先用辅助角公式得出sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），再根据倍角公式得出sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α，进而得出这三个数中的最大值．

解答 解：∵α是锐角，∴α∈（0，$\frac{π}{2}$），
则sinα+cosα=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$），
其中α+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
所以，sinα+cosα∈（1，$\sqrt{2}$]，
因此，sinα+cosα＞1，
又因为，sinαcosα=$\frac{1}{2}$sin2α≤$\frac{1}{2}$＜1，
所以，1，sinα+cosα，sinαcosα的大小关系为：
sinαcosα＜1＜sinα+cosα，
因此，这三个数中最大的是：sinα+cosα，
故答案为：sinα+cosα．

点评 本题主要考查了三角函数值的大小比较，涉及倍角公式，辅助角公式的应用，以及函数三角函数的图象和性质，属于中档题．