Question

5．已知中心在原点O的椭圆，右焦点为F（1，0），经过F点且与x轴垂直的弦长为$\sqrt{2}$，过点F的直线l与椭圆交于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范围；
（Ⅲ）若直线AB的斜率为k，若向量$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{2}$，1）与$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$共线，求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题得c=1，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，a²=2，b²=1，即可求椭圆的方程；
（Ⅱ）把直线方程和椭圆方程联立，求出关于A，B两点坐标和直线斜率之间的关系，再代入$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的表达式即可求出求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的范围；
（Ⅲ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于A，B两点坐标和直线斜率之间的关系，求出$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$，利用向量$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{2}$，1）与$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$共线，求出直线斜率．

解答 解：（Ⅰ）由题得c=1，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{2}$，∴a²=2，b²=1，
所以椭圆的方程是$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1；
（Ⅱ）当k存在时，设直线方程为y=k（x-1）．
联立$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1，化简为（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{2{k}^{2}+1}$，x₁x₂=$\frac{2{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$．
令$\frac{{k}^{2}-2}{2{k}^{2}+1}$=m，则${k}^{2}=\frac{m+2}{1-2m}$≥0，
∴-2≤m＜$\frac{1}{2}$，∴-2≤$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$＜$\frac{1}{2}$，
当k不存在时，A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），则$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=$\frac{1}{2}$，
综上，-2≤$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$≤$\frac{1}{2}$，
（Ⅲ）$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∵向量$\overrightarrow{a}$=（-2$\sqrt{2}$，1）与$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$共线，
∴-2$\sqrt{2}$（y₁+y₂）=x₁+x₂，
∴-2$\sqrt{2}$[k（x₁-1）+k（x₂-1）]=x₁+x₂，
由韦达定理知k=0或k=$\sqrt{2}$．

点评 本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量共线问题．直线与圆锥曲线的位置关系，由于集中交汇了直线，圆锥曲线两章的知识内容，综合性强，能力要求高，还涉及到函数，方程，不等式，平面几何等许多知识，可以有效的考查函数与方程的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想和转化化归的思想，因此，这一部分内容也成了高考的热点和重点．