Question

20．如图所示，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是正三角形，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB=1，AA₁=2，点D在侧棱AA₁上，点G，H分别是△ABC，△BCD的重心．
（1）求证：GH∥AD；
（2）当AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点E，连接AE，DE，根据重心的定义和性质，可得GH：HE=AG：GE=2：1，再由平行线分线段成比例定理的逆定理得到结论；
（2）根据AB=1，依次计算AE，AG，GH，AD的长度，可得答案．

解答 证明：（1）取BC的中点E，连接AE，DE，
∵点G，H分别是△ABC，△BCD的重心．
∴G在AE上，H在DE上，
且GH：HE=AG：GE=2：1，
∴GH∥AD；
（2）∵AB=1，
∴AE=$\sqrt{{1}^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AG=$\frac{2}{3}$AE=$\frac{2}{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}$=33，
又∵AH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴GH=$\sqrt{{AH}^{2}-{AG}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{6}$，
∴AD=3GH=$\frac{\sqrt{15}}{2}$

点评 本题考查的知识点是三角形的五心，平行线分线段成比例定理的逆定理，勾股定理，难度中档．