Question

16．一般地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域为[ka，kb]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“k倍保值区间”．特别地，若f（x）的定义域为[a，b]，值域也为[a，b]，（a＜b），则称[a，b]为函数f（x）的“保值区间”．
（1）若[1，b]为g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$的保值区间，求常数b的值；
（2）问是否存在常数a，b（a＞-2）使函数h（x）=$\frac{1}{x+2}$的保值区间为[a，b]？若存在，求出a，b的值，否则，请说明理由．
（3）求函数p（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{13}{2}$的2倍保值区间[a，b]．

Answer 1

分析 （1）求得g（x）的对称轴为x=1，可得g（x）在[1，b]上单调递增，即有b的方程，解方程可得b；
（2）假设存在这样的a，b，由于a＞-2，则h（x）在[a，b]上单调递减，可得a，b的关系式，解方程即可判断是否存在；
（3）讨论①当a＜b＜0时，②当0＜a＜b时，③当a＜0＜b时，运用单调性，结合二次方程解方程可得a，b，进而得到所求区间．

解答 解：（1）g（x）=$\frac{1}{2}{x^2}-x+\frac{3}{2}$的对称轴为x=1，
则g（x）在[1，b]上单调递增，
可得$\left\{\begin{array}{l}g（1）=1\\ g（b）=b\end{array}\right.⇒\frac{1}{2}{b^2}-b+\frac{3}{2}=b$⇒b=3或b=1，
由于b＞1，则b=3；
（2）假设存在这样的a，b，
由于a＞-2，则h（x）在[a，b]上单调递减，
则$\left\{\begin{array}{l}{h（a）=b}\\{h（b）=a}\end{array}\right.$即有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{a+2}=b}\\{\frac{1}{b+2}=a}\end{array}\right.$
⇒（a+2）b=（b+2）a⇒a=b与a＜b矛盾．
故不存在这样的a，b；
（3）①当a＜b＜0时，p（x）在[a，b]上单调递增，
  则$\left\{\begin{array}{l}{p（a）=2a}\\{p（b）=2b}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\\{-\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\end{array}\right.$
则a，b0为方程$-\frac{1}{2}{x^2}+\frac{13}{2}=2x$的两个根．
由于ab=-13＜0（舍）；
②当0＜a＜b时，p（x）在[a，b]上单调递减，
则
$\left\{\begin{array}{l}{p（a）=2b}\\{p（b）=2a}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{a}^{2}+\frac{13}{2}=2b}\\{-\frac{1}{2}{b}^{2}+\frac{13}{2}=2a}\end{array}\right.$，
两式相减$⇒a+b=4⇒a=4-b⇒-\frac{1}{2}{b^2}+\frac{13}{2}=8-2b$
$⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=3\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\end{array}\right.$（舍）；
③当a＜0＜b时，$p{（x）_{max}}=\frac{13}{2}=2b⇒b=\frac{13}{4}$，
若$p{（x）_{min}}=p（b）=p（\frac{13}{4}）=2a⇒a=\frac{39}{32}＞0$（舍），
若p（x）min=p（a）=-$\frac{1}{2}$a2+$\frac{13}{2}$=2a，解得a=-$\sqrt{17}$-2或$\sqrt{17}$-2（舍去），
又$p（\frac{13}{4}）=\frac{39}{32}∈[-2\sqrt{17}-4，\frac{13}{2}]$，则$\left\{\begin{array}{l}a=-\sqrt{17}-2\\ b=\frac{13}{4}\end{array}\right.$，
综上所述，$\left\{\begin{array}{l}{a=-\sqrt{17}-2}\\{b=\frac{13}{4}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$．
即有2倍保值区间[a，b]为[1，3]或[-$\sqrt{17}$-2，$\frac{13}{4}$]．

点评 本题考查新定义的理解和运用，考查函数的性质和运用，主要考查单调性的运用，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．