Question

【题目】设函数，．

（1）当时，函数有两个极值点，求的取值范围；

（2）若在点处的切线与轴平行，且函数在时，其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）求得导函数，题意说明有两个零点，即有两个解，或直线与函数的有两个交点，可用导数研究的性质（单调性，极值等），由零点存在定理即可得的范围；

（2）首先题意说明，，从而有且，其次时，恒成立，因此的最小值大于0，这可由导数来研究，从而得出的范围．

（1）当时，，，

所以有两个极值点就是方程有两个解，

令，则.

当时，在区间上恒成立，则此时单调递增，

又为连续函数，由零点存在定理可知：

最多只有一个零点，也即最多只有一个解，不符合题意；

当时，令，解得，

故在区间单调递增，在单调递减.

，

若，即时，根据函数单调性可知：

此时，故无解，不符合题意；

若，即时，根据函数单调性可知：

此时，只有一个解，不符合题意；

若，即时，

又，，（最后进行证明）

又，故由零点存在定理可知：

此时有两个根，满足题意.

综上．

现证：，

令，故，

故在定义域内单调递增，

故，

即证.

（2）函数在点处的切线与轴平行，

所以且，因为，

所以且；

在时，

其图象的每一点处的切线的倾斜角均为锐角，

即当时，恒成立，即

，

令，∴

设，，

因为，所以，，∴，

∴在单调递增，即在单调递增，

∴，

当且时，，

所以在单调递增；

∴成立

当，因为在单调递增，

所以，

，

所以存在有；

当时，，单调递减，

所以有，不恒成立；

所以实数的取值范围为．