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    【题目】已知函数.

    （1）判断函数的奇偶性并证明；

    （2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数：

    （3）求函数在区间上的值域.

    【答案】(1) 奇函数 （2）证明见解析 （3）

    【解析】

    （1）直接由函数奇偶性的定义判断的关系，可得出答案.
    （2）由定义证明函数单调性的方法任取，且，作差化简判断符合，得出单调性结论.
    (3)根据（2）的解题过程判断出函数在上的单调区间，从而根据单调性得出函数的值域.

    (1)由

    所以有

    所以为奇函数.

    (2) 任取，且.

    则

    由，

    则，所以，

    所以

    即，所以

    所以函数在区间上是单调递增函数.

    (3)由（2）有在上是单调递增函数.

    在（2）的证明过程中，若，则

    则

    所以，所以

    所以函数在区间上是单调递减函数.

    所以函数在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数.

    又.

    所以函数在区间上的值域为.

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