Question

【题目】在单位正内任取一点P，以PA、PB、PC为边生成．

（1）当分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时，求出点P的轨迹．

（2）证明：当的周长取最小值时，面积取最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

如图，记．

将绕点B逆时针旋转得，则，．就是由PA、PB、PC所组成的，且其三个内角，，．

（1）当存在时，为直角三角形．

由，知．

所以，点P在三个单位圆的弧AB、BC、CA上（图）．

当存在时，为钝角三角形．

由，知．

由圆内角大于圆周角知，点P在图中的三个弓形内（阴影部分，不包括边界）．

当，，同时成立时，为锐角三角形，得，，．

由圆外角小于圆周角知，点P在图8中的三个圆弧外（曲边内部，不包括边界）．

（2）先确定周长取最小值时点P的位置．为此，将如图的绕点B逆时针旋转得，联结MC、PN．则折线．

当且仅当M、N、P、C四点共线时，的周长取最小值．此时，有，即点P为的中心（）．

下面说明，这恰好是面积取最大值的条件．

在中，由余弦定理和基本不等式有，

故．当且仅当时，等号成立．

在中，．

由面积公式有

．

两处放大的地方同时取等号当且仅当

由式②有．

所以，．

从而，，代入式①得．

这表明，PA、PB在的中线上，且相交于距顶点处，点P为中心．

所以，当点P为的中心时，的周长最短且面积最大，最大值为．