【题目】在单位正内任取一点P,以PA、PB、PC为边生成
.
(1)当分别为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形时,求出点P的轨迹.
(2)证明:当的周长取最小值时,面积取最大值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
如图,记.
将绕点B逆时针旋转
得
,则
,
.
就是由PA、PB、PC所组成的
,且其三个内角
,
,
.
(1)当存在时,
为直角三角形.
由,知
.
所以,点P在三个单位圆的弧AB、BC、CA上(图).
当存在时,
为钝角三角形.
由,知
.
由圆内角大于圆周角知,点P在图中的三个弓形内(阴影部分,不包括边界).
当,
,
同时成立时,
为锐角三角形,得
,
,
.
由圆外角小于圆周角知,点P在图8中的三个圆弧外(曲边内部,不包括边界).
(2)先确定周长取最小值时点P的位置.为此,将如图的
绕点B逆时针旋转
得
,联结MC、PN.则折线
.
当且仅当M、N、P、C四点共线时,的周长取最小值.此时,有
,即点P为
的中心(
).
下面说明,这恰好是面积取最大值的条件.
在中,由余弦定理和基本不等式有
,
故.当且仅当
时,等号成立.
在中,
.
由面积公式有
.
两处放大的地方同时取等号当且仅当
由式②有.
所以,.
从而,,代入式①得
.
这表明,PA、PB在的中线上,且相交于距顶点
处,点P为中心.
所以,当点P为的中心时,
的周长最短且面积最大,最大值为
.
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【题目】已知函数(
,
),且
的解集为
;数列
的前
项和为
,对任意
,满足
.
(1)求的值及数列
的通项公式;
(2)已知数列的前
项和为
,满足
,
,求数列
的前
项和
;
(3)已知数列满足
,若
对
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球.
(1)从口袋内取出3个球,共有多少种取法?
(2)从口袋内取出3个球,使其中含有1个黑球,有多少种取法?
(3)从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法?
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【题目】在平面直角坐标系中,已知直线
的参数方程为
(
为参数).在以坐标原点
为极点,
轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线
的极坐标方程是
.
(1)求直线的普通方程与曲线
的直角坐标方程;
(2)设点.若直
与曲线
相交于两点
,求
的值.
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【题目】某社区为了了解青少年的身体素质,对本社区的名青少年进行了调研,随机抽取了若干名,年龄全部介于
与
岁之间,将年龄按如下方式分成五组:第一组
;第二组
;
;第五组
.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示,已知图中从左到右的前三个组的频率之比为
,且第二组的频数为
.
(1)试估计这名青少年中年龄在
内的人数;
(2)求从本社区的名青少年中随机抽取出的调研人数.
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【题目】某小型企业甲产品生产的投入成本x(单位:万元)与产品销售收入y(单位:万元)存在较好的线性关系,下表记录了最近5次该产品的相关数据.
x(万元) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
y(万元) | 8 | 10 | 13 | 17 | 22 |
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)根据(1)中的回归方程,判断该企业甲产品投入成本12万元的毛利率更大还是投入成本15万元的毛利率更大(毛利率)?
相关公式:,
.
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【题目】下列命题错误的是
A. 三棱锥的四个面可以都是直角三角形;
B. 等差数列{an}的前n项和为Sn(n=1,2,3…),若当首项a1和公差d变化时,a5+a8+a11是一个定值,则S16为定值;
C. 中,sinA>sinB是
的充要条件;
D. 若双曲线的渐近线互相垂直,则这条双曲线是等轴双曲线.
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【题目】设函数,
.
(1)当时,函数
有两个极值点,求
的取值范围;
(2)若在点
处的切线与
轴平行,且函数
在
时,其图象上每一点处切线的倾斜角均为锐角,求
的取值范围.
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