Question

已知函数f（x）=

x2+3ax+a2-3，(x＜0) 2ex-(x-a)2+3，(x＞0)

，a∈R．
（1）若函数y=f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若函数y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当x＞0时，f'（x）=2（e^x-x+a）从而f'（1）=0，解出即可，（2）由题意得到方程组，求出a的表达式，设h(x)=

2ex

x

（x＞0），再通过求导求出函数h（x）的最小值，问题得以解决．

解答： 解：（1）当x＞0时，
f（x）=2e^x-（x-a）²+3，
f′（x）=2（e^x-x+a），
∵y=f（x）在x=1处取得极值，
∴f′（1）=0，即2（e-1+a）=0
解得：a=1-e，经验证满足题意，
∴a=1-e．           
（2）y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称，
即存在y=2e^x-（x-a）²+3图象上一点（x₀，y₀）（x₀＞0），
使得（-x₀，-y₀）在y=x²+3ax+a²-3的图象上
则有

y0=2ex0-(x0-a)2+3 -y0=x02-3ax0+a 2-3

，
∴2ex0-(x0-a)2+3=-x02+3ax0-a 2+3
化简得：a=

2ex0

x0

，即关于x₀的方程在（0，+∞）内有解                 
设h(x)=

2ex

x

（x＞0），则h′(x)=

2ex(x-1)

x2

∵x＞0
∴当x＞1时，h'（x）＞0；当0＜x＜1时，h'（x）＜0
即h（x）在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数
∴h（x）≥h（1）=2e，且x→+∞时，h（x）→+∞；x→0时，h（x）→+∞
即h（x）值域为[2e，+∞），
∴a≥2e时，方程a=

2ex0

x0

在（0，+∞）内有解
∴a≥2e时，y=f（x）的图象上存在两点关于原点对称．

点评：本题考察了函数的单调性，函数的最值问题，导数的应用，函数图象的对称性，是一道综合题．