Question

如图，在边长为2的正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，将△ADE，△CDF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（Ⅰ）求证：平面A′DE⊥平面A′EF；
（Ⅱ）求三棱锥A′-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,平面与平面垂直的判定

专题：证明题

分析：（Ⅰ）折叠前后不变的是，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，得到A′D⊥平面A′EF，从而证明平面A′DE⊥平面A′EF；
（Ⅱ）将求三棱锥A′-DEF的体积转化成求三棱锥D-A′EF的体积，再进一步代入计算．

解答： 解：（Ⅰ）折叠前，AD⊥AE，CD⊥CF，
折叠后，A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又∵A′E∩A′F=A′，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵A′D?平面A′DE，
∴平面A′DE⊥平面A′EF．
（Ⅱ）∵E，F分别是AB，BC的中点，
∴AE=BE=BF=1，EF=

2

，
折叠后，A′E=A′F=1，
∴A′E²+A′F²=EF²，∴A′E⊥A′F．
∴S△A′EF=

1

2

A′E×A′F=

1

2

×1×1=

1

2

，
由（Ⅰ），知A′D⊥平面A′EF，
∴VA′-DEF=VD-A′EF=

1

3

S△A′EF•A′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．

点评：在几何体的体积求解过程中，等体积法是经常用到的方法之一，除此之外，还有公式、割补法等常用方法．