Question

已知函数f（x）=log₂（x+a）．
（Ⅰ）当a=1时，若f（x）+f（x-1）＞0成立，求x的取值范围；
（Ⅱ）若定义在R上奇函数g（x）满足g（x+2）=-g（x），且当0≤x≤1时，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的解析式，并写出g（x）在[-3，3]上的单调区间（不必证明）；
（Ⅲ）对于（Ⅱ）中的g（x），若关于x的不等式g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=1时，f（x）+f（x-1）＞0可化为

x＞0 x+1＞0 x(x+1)＞1

，解不等式组可得答案．
（II）根据已知可得a=1，进而根据当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，当x∈[-3，-2]时，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，当0≤x≤1时，g（x）=f（x），可得g（x）在[-3，-1]上的解析式，进而分析出g（x）在[-3，3]上的单调区间；
（III）关于x的不等式g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立，即u=

t-2x

8+2x+3

∈[-

1

2

.

5

2

]，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=log₂（x+1）．
∴f（x-1）=log₂x，
∴f（x）+f（x-1）=log₂（x+1）+log₂x=log₂[x（x+1）]，
若f（x）+f（x-1）＞0，则

x＞0 x+1＞0 x(x+1)＞1

，
解得：x∈（

5 -1

2

，+∞），
即x的取值范围为（

5 -1

2

，+∞）；
（Ⅱ）∵函数g（x）是定义在R上奇函数，
故g（0）=0，
又∵当0≤x≤1时，g（x）=f（x）=log₂（x+a）．
故a=1，
当x∈[-2，-1]时，x+2∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=-log₂（x+3）．
当x∈[-3，-2]时，x+2∈[-1，0]，-（x+2）∈[0，1]，
∴g（x）=-g（x+2）=g[-（x+2）]=log₂[-（x+2）+1]=log₂（-x-1）．
故g（x）=

log2(-x-1)，x∈[-3，-2] -log2(x+3)，x∈[-2，-1]

，
g（x）在[-3，-1]和[1，3]上递减，在[-1，1]上递增；
（III）记u=

t-2x

8+2x+3

=-

1

8

+

t+1

8+2x+3

，
当t+1≥0时，u∈（-

1

8

，-

1

8

+

t+1

8

）=（-

1

8

，

t

8

），
由g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（-

1

8

，

t

8

）∈[-

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-1，20]．
当t+1＜0时，u∈（-

1

8

+

t+1

8

，-

1

8

）=（

t

8

，-

1

8

），
由g（

t-2x

8+2x+3

）≥g（-

1

2

）在R上恒成立可得：（

t

8

，-

1

8

）∈[-

1

2

.

5

2

]，
解得：t∈[-4，-1）．
综上所述实数t的取值范围为[-4，20]．

点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，对数不等式的解法，求函数的解析式，恒成立问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大，属于难题．