Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左顶点A（-2，0），过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知直线y=kx+m（k＜0，m＞b＞0）与y轴交于点P，与x轴交于点Q，与椭圆C交于M，N两点，若

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

．求证：直线y=kx+m过定点，并求出这个定点坐标．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由题意a=2，利用过右焦点F且垂直于长轴的弦长为3，求出b，即可求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），与x轴交于点Q（-

m

k

，0），设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，可得

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，y=kx+m代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0，利用韦达定理，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：由题意a=2，设过右焦点F且垂直于长轴的弦为MN，将M（c，x_M）代入椭圆方程可得y_M=±

2b2

a

，
∴

2b2

a

=3，∴b²=3，
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）证明：直线y=kx+m（k＜0，m＞0）与y轴交于点P（0，m），与x轴交于点Q（-

m

k

，0），
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则
|PM|=

1+k2

x₁，|PN|=

1+k2

x₂，|PQ|=-

1+k2

•

m

k

，
∵

1

|PM|

+

1

|PN|

=

3

|PQ|

，
∴

1

x1

+

1

x2

=-3•

k

m

，
∴

x1+x2

x1x2

=-

3k

m

，
y=kx+m代入椭圆方程可得（4k²+3）x²+8kmx+4m²-12=0
∴x₁+x₂=

-8km

4k2+3

，x₁x₂=

4m2-12

4k2+3

，
∴

-8km

4m2-12

=-

3k

m

，
∵m＞0，
∴m=3，
∴y=kx+m恒过点（0，3）．

点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生析解决问题的能力，有难度．