Question

已知点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}（b_n＞0）的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn+1

（n≥2）．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问T_n＞

1000

2014

的最小正整数n是多少？

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得f（x）=（

1

3

）^x．所以a1=f(1)-c=

1

3

-c，a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

，由数列{a_n}是等比数列，得到c=1，q=

a2

a1

=

1

3

，由此能求出数列{a_n}的通项公式；S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

，得到数列{

Sn

}构成一个首相为1公差为1的等差数列，由此能求出{b_n}的通项公式．
（2）

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法能求出满足Tn＞

1000

2014

的最小正整数．

解答： 解：（1）∵点（1，

1

3

）是函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）的图象上一点，
∴f（1）=a=

1

3

，∴f（x）=（

1

3

）^x．
a1=f(1)-c=

1

3

-c，
a2=[f(2)-c]-[f(1)-c]=-

2

9

，
a3=[f(3)-c]-[f(2)-c]=-

2

27

，
又数列{a_n}是等比数列，
∴a1=

a22

a3

=

4 81

- 2 27

=-

2

3

=

1

3

-c，解得c=1，
又公比q=

a2

a1

=

1

3

，
∴an=-

2

3

•(

1

3

)n-1=-2（

1

3

）ⁿ，n∈N^*．
∵S_n-S_n-1=（

Sn

-

Sn-1

）（

Sn

+

Sn-1

）=

Sn

+

Sn-1

，n≥2，
又bn＞0，

Sn

＞0，∴

Sn

-

Sn-1

=1，
数列{

Sn

}构成一个首相为1公差为1的等差数列，

Sn

=1+（n-1）=n，
∴Sn=n2．
当n≥2时，bn=n2-(n-1)2=2n-1，
∴bn=2n-1，n∈N*．
（2）∵

1

bnbn+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴T_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)
=

1

2

(1-

1

2n+1

)
=

n

2n+1

．
∵T_n=

n

2n+1

＞

1000

2014

，∴n＞

1000

14

，
满足Tn＞

1000

2014

的最小正整数为72．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查满足不等式的最小正整数的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．