Question

某地区试行高考自主招生考试改革：在高中三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是

1

3

，每次测试通过与否相互独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（1）求该学生考上大学的概率；
（2）求该生参加考试次数X的分布列与期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（1）设“该生考上大学”的事件为A，其对立事件为

.

A

：“该生未能考上大学”，则

.

A

包含前4次中过1次且第5次未能过、前4次均未能通过，两种情况互斥，由此能求出该学生考上大学的概率．
（2）由题意可知，X可取2、3、4、5，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和X的期望．

解答： 解：（1）设“该生考上大学”的事件为A，
其对立事件为

.

A

：“该生未能考上大学”，
则

.

A

包含前4次中过1次且第5次未能过、前4次均未能通过，两种情况互斥．…（2分）
∴P（

.

A

）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3(

2

3

)+(

2

3

)4=

112

243

，
∴P（A）=1-P（

.

A

）=1-

112

243

=

131

243

．…（6分）
（2）由题意可知，X可取2、3、4、5，
则P（X=2）=（

1

3

）²=

1

9

；P（X=3）=

C

1 2

(

1

3

)(

2

3

)(

1

3

)=

4

27

；
P（X=4）=

C

1 3

(

1

3

)(

2

3

)2(

1

3

)+(

2

3

)4=

28

81

；P（X=5）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

．…（10分）
∴X的分布列为：

X	2	3	4	5
P	1 9	4 27	28 81	32 81

∴X的期望为：E（X）=2×

1

9

+3×

4

27

+4×

28

81

+5×

32

81

=

326

81

．…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．