Question

对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是，值域也是，则称是函数的“好区间”.

（Ⅰ）设（其中），判断是否存在“好区间”，并说明理由；

（Ⅱ）已知函数有“好区间”，当变化时，求的最大值.

Answer 1

（1）由.……………………………………1分

①当时，，此时定义域，，，

，，，

，，

，

在内是增函数；                     3分

存在“好区间”，

关于的方程在定义域内有两个不等的实数根.

即在定义域内有两个不等的实数根.(*)

设，则(*)，

即在内有两个不等的实数根，

设，则无解.

所以函数不存在“好区间”. ……………………………………6分

（2）由题设，函数有“好区间”，

或，函数在上单调递增，

，所以是方程，即方程有同号的相异实数根.

，同号，或.

,.

当，取得最大值.