Question

16．已知正数a，b，c，满足a+b=$\frac{1}{2}$ab，a+b+c=abc，则c的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{8}{15}$]．

Answer 1

分析 由基本不等式可得ab≥16，再由已知式子变形可得c=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{ab-1}$），由不等式的性质可得范围．

解答 解：由题意可得$\frac{1}{2}$ab=a+b≥2$\sqrt{ab}$，解得ab≥16，
当且仅当a=b=4时取等号，由a+b+c=abc可得
c=$\frac{a+b}{ab-1}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{ab}{ab-1}$=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{ab-1}$），
∵ab≥16，∴ab-1≥15，∴0＜$\frac{1}{ab-1}$≤$\frac{1}{15}$，
∴1＜1+$\frac{1}{ab-1}$≤$\frac{16}{15}$，∴$\frac{1}{2}$＜$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{ab-1}$）≤$\frac{8}{15}$，
故答案为：（$\frac{1}{2}$，$\frac{8}{15}$]

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及不等式的性质，正确变形是解决问题的关键，属中档题．