Question

15．已知函数f（x）=Asin（ωx-$\frac{π}{6}$）+1（A＞0，ω＞0）的最大值为3，其图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$．
（1）求函数f（x）对称中心的坐标；
（2）求函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域．

Answer 1

分析 首先根据函数的最值和对称轴之间的距离确定A和ω，进一步求出正弦型函数的解析式．
（1）根据正弦函数图象性质求得函数f（x）对称中心的坐标；
（2）根据正弦函数图象的性质求值域．

解答 解：因为A＞0，所以f（x）_max=A+1=3，
所以A=2，
又因为f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为$\frac{π}{2}$，
所以$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{2}$，
所以T=π，
故ω=$\frac{2π}{π}$=2，
所以f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
（1）令2x-$\frac{π}{6}$=kπ（k∈Z），
  所以x=$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$（k∈Z），
故对称中心为（$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1）（k∈Z）；
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{6}$）∈[$-\frac{1}{2}$，1]，
∴f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1∈[0，3]
所以函数f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的值域为：[0，3]．

点评 本题考查的知识要点：函数的最值即对称轴之间的距离再求正弦型函数解析式中的应用，利用解析式求函数的对称中心和单调区间．属于基础题型．