Question

7．已知指数函数y=g（x）满足：g（3）=8，定义域为R的函数f（x）=$\frac{n-g（x）}{2+2g（x）}$是奇函数．
（1）确定y=f（x）和y=g（x）的解析式；
（2）若对任意的x∈[1，4]，不等式f（2x-3）+f（x-k）＞0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），由a³=8解得a=2．故g（x）=2^x．再根据函数是奇函数，求出n的值，得到f（x）的解析式；
（2）根据函数为奇函数和减函数，转化为即对一切x∈（1，4），有3tx-3＜k恒成立，再利用函数的单调性求出函数的最值即可．

解答 解：：（1）设g（x）=a^x（a＞0且a≠1），
∵g（3）=8，∴a³=8，解得a=2．∴g（x）=2^x．∴f（x）=$\frac{n-{2}^{x}}{2+2•{2}^{x}}$，
∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴n=1，∴f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{2+{2}^{x+1}}$，（x∈R）；
（2）由（Ⅰ）知f（x）=$-\frac{1}{2}•\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，易知f（x）在R上为减函数，
又f（x）是奇函数，∴f（2x-3）+f（x-k）＞0，∴f（2x-3）＞-f（x-k）=f（k-x），
∵f（x）在R上为减函数，由上式得2x-3＜k-x，
即对一切x∈（1，4），有3x-3＜k恒成立，
令m（x）=3x-3，x∈（1，4），
易知m（x）在（1，4）上递增，∴m（x）＜3×4-3=9，
∴k≥9，即实数k的取值范围是[9，+∞）．

点评 本题综合考查了指数函数的定义及其性质、函数的奇偶性、单调性、恒成立问题的等价转化、属于中档题．