Question

12．已知等差数列{a_n}满足：$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，且它的前n项和S_n有最大值，则当S_n取到最小正值时，n=19．

Answer 1

分析 根据题意判断出d＜0、a₁₀＞0＞a₁₁、a₁₀+a₁₁＜0，利用前n项和公式和性质判断出S₂₀＜0、S₁₉＞0，再利用数列的单调性判断出当S_n取的最小正值时n的值．

解答 解：由题意知，S_n有最大值，所以d＜0，
由$\frac{{{a_{11}}}}{{{a_{10}}}}＜-1$，所以a₁₀＞0＞a₁₁，
且a₁₀+a₁₁＜0，
所以S₂₀=10（a₁+a₂₀）=10（a₁₀+a₁₁）＜0，
则S₁₉=19a₁₀＞0，
又a₁＞a₂＞…＞a₁₀＞0＞a₁₁＞a₁₂
所以S₁₀＞S₉＞…＞S₂＞S₁＞0，S₁₀＞S₁₁＞…＞S₁₉＞0＞S₂₀＞S₂₁
又S₁₉-S₁=a₂+a₃+…+a₁₉=9（a₁₀+a₁₁）＜0，
所以S₁₉为最小正值．
故答案为：10．

点评 本题考查了等差数列的性质、前n项和公式以及S_n最值问题，要求S_n取得最小正值时n的值，关键是要找出什么时候a_n+1小于0且a_n大于0．