Question

2．离心率为$\frac{3}{4}$的椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），P∈C，且P到椭圆的两个焦点距离之和为8则椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

Answer 1

分析 由题意可知：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦点在x轴上，丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=8，a=4，椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，即c=3，则b²=a²-c²=7，即可求得椭圆C的方程．

解答 解：由题意可知：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0），焦点在x轴上，
P到椭圆的两个焦点距离之和为8，
由椭圆的性质可知：丨PF₁丨+丨PF₂丨=2a=8，
∴a=4，
由椭圆的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{4}$，即c=3，
则b²=a²-c²=7
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{7}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义的应用，属于基础题．