Question

14．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F，抛物线上一点P点横坐标为2，|PF|=3
（1）求抛物线的方程；
（2）过F且倾斜角为30°的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）先求抛物线y²=2px（p＞0）的准线方程，根据抛物线的定义，将抛物线y²=2px（p＞0）上横坐标为2的点到焦点的距离等于3，转化为点到准线的距离为3，即可求得结论．
（2）由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．

解答 解：（1）由抛物线定义可知，|PF|=2+$\frac{p}{2}$=3，∴p=2，
∴抛物线方程为y²=4x．
（2）由y²=34，得F（1，0）．
∴过A，B的直线方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x-1），
联立得y²-4$\sqrt{3}$y-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4$\sqrt{3}$，y₁y₂=-4．
∴S_△OAB=S_△OAF+S_△OFB=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|=$\frac{1}{2}\sqrt{48+16}$=4．

点评 本题以抛物线为载体，考查抛物线定义的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．