Question

13．设x，y满足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}\right.$，若M=4x+y，N=（$\frac{1}{2}$）^x，则M-N的最小值为-4．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，M-N的最小值，就是M的最小值减去N的最大值，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．

解答 解：由约束条件不等式$\left\{\begin{array}{l}y≤2\\ x+y≥1\\ x-y≤1\end{array}\right.$作出可行域如图，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+y=1}\end{array}\right.$，解得A（-1，2），
由z=4x+y，得y=-4x+z，
由图可知，当直线y=-4x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为-4+2=-2．即M的最小值为：-2．
N=（$\frac{1}{2}$）^x，由图象可知N=（$\frac{1}{2}$）^x，经过A时，N取得最大值：2．
M-N的最小值为：-2-2=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．