Question

6．下列结论正确的是①②④
①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0）．若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率为0.7；
②以模型y=ce^kx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=e⁴；
③已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是减函数”是真命题；
④设常数a，b∈R，则不等式ax²-（a+b-1）x+b＞0对?x＞1恒成立的充要条件是a≥b-1．

Answer 1

分析 ①根据正态分布的性质进行求解，
②根据对数的运算性质和运算法则结合非线性回归方程的求法进行判断，
③根据逆否命题的定义以及命题的等价性进行判断，
④根据不等式和函数之间的关系，利用二次函数的图象和性质即可得到结论．

解答 解：①在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（1，σ²）（σ＞0）则正态曲线关于x=1对称．
若ξ在（0，1）内取值的概率为0.35，则ξ在（0，2）内取值的概率P=2×0.35=0.7；故①正确，
②∵y=ce^kx，
∴两边取对数，可得lny=ln（ce^kx）=lnc+lne^kx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx，
∵z=0.3x+4，
∴lnc=4，
∴c=e⁴．故②正确，
③已知命题“若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，
则m≤1”的逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上不是增函数”，
若函数f（x）=e^x-mx在（0，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0恒成立，
即f′（x）=e^x-m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤e^x，
∵x＞0，∴e^x＞1，
则m≤1．故原命题是真命题，则命题的逆否命题也是真命题，故③错误，
④设f（x）=ax²-（a+b-1）x+b，
则f（0）=b＞0，f（1）=a-（a+b-1）+b=1＞0，
∴要使?x＞1恒成立，
则对称轴x=$-\frac{-（a+b-1）}{2a}=\frac{a+b-1}{2a}≤1$，
即a+b-1≤2a，即a≥b-1，
即不等式ax²-（a+b-1）x+b＞0对?x＞1恒成立的充要条件是a≥b-1．故④正确，
故答案为：①②④

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，有一定的难度．