Question

11．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{c•{a}_{n}+1}$ （c为常数，n∈N^*）且a₅=a₂²，
（1）求证：数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列；
（2）求c的值；
（3）若a₁，a₂，a₅彼此不相等，数列{a_n•b_n}是首项为1，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列，求：数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）a_n≠0，由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{c•{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=c+$\frac{1}{{a}_{n}}$，取倒数可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=c，即可证明．
（2）$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+c（n-1），a₅=a₂²，可得1+4c=（1+c）²，解得c．
（3）c=2，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1），解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．a_nb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，得b_n=（2n-1）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．再利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）证明：a_n≠0，由a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{c•{a}_{n}+1}$，得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=c+$\frac{1}{{a}_{n}}$，∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=c，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列．
（2）解：∵$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+c（n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=1+4c，$\frac{1}{{a}_{2}}$=1+c，a₅=a₂²，
∴1+4c=（1+c）²，解得c=0或c=2．
（3）c=2，$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，解得a_n=$\frac{1}{2n-1}$．
已知a_nb_n=$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，得b_n=（2n-1）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
∴S_n=1+3×$\frac{1}{2}$+5×$（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（2n-1）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．
$\frac{1}{2}{S}_{n}$=$\frac{1}{2}+3×（\frac{1}{2}）^{2}$+…+（2n-3）•$（\frac{1}{2}）^{n-1}$+（2n-1）•$（\frac{1}{2}）^{n}$．
两式相减得：$\frac{1}{2}{S}_{n}$=1+2$[\frac{1}{2}+（\frac{1}{2}）^{2}+…+（\frac{1}{2}）^{n-1}$-$（2n-1）（\frac{1}{2}）^{n}]$=3-（2n+3）×$（\frac{1}{2}）^{n}$，
S_n=6-（2n+3）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法”、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．