Question

已知f（x）=

|x|

ex

（x∈R），若关于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，则实数t的取值范围为（　　）

• A、（

  1

  e

  ，2）∪（2，e）
• B、（

  1

  e

  ，1）
• C、（1，

  1

  e

  +1）
• D、（

  1

  e

  ，e）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的概念及应用

分析：求函数的导数，判断函数的取值情况，设m=f（x），利用换元法，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布建立条件关系即可得到结论．

解答： 解：化简可得f（x）=

|x|

ex

=

x ex ，x≥0 - x ex ，x＜0

，
当x≥0时，f′（x）=

1-x

ex

，
当0≤x＜1时，f′（x）＞0，当x≥1时，f′（x）≤0
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）单调递减；
当x＜0时，f′（x）=

x-1

ex

＜0，f（x）为减函数，
∴函数f（x）=

|x|

ex

在（0，+∞）上有一个最大值为f（1）=

1

e

，作出函数f（x）的草图如图：
设m=f（x），当m＞

1

e

时，方程m=f（x）有1个解，
当m=

1

e

时，方程m=f（x）有2个解，
当0＜m＜

1

e

时，方程m=f（x）有3个解，
当m=0时，方程m=f（x），有1个解，
当m＜0时，方程m=f（x）有0个解，
则方程f²（x）-tf（x）+t-1=0等价为m²-tm+t-1=0，
要使关于x的方程f²（x）-tf（x）+t-1=0恰好有4个不相等的实数根，
等价为方程m²-tm+t-1=0有两个不同的根m₁＞

1

e

且0＜m₂＜

1

e

，
设g（m）=m²-tm+t-1，
则

g(0)=t-1＞0 g( 1 e )= 1 e2 - t e +t-1＜0 - -t 2 ＞0

，即

t＞1 t＜ e+1 e =1+ 1 e t＞0

，
解得1＜t＜1+

1

e

，
故选：C

点评：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键．